Inom matematiken är Nesbitts olikhet en olikhet som är ett specialfall av Shapiros olikhet. Olikheten säger att för positiva reella tal a, b och c gäller
Bevis Första bevis Först skriver vi Nesbitts olikhet
i formen
som kan vidare skrivas som
Genom att dela med tre och faktorn till höger får vi
Vänstra sidan är det aritmetiska medelvärdet och högra sidan är det harmoniska medelvärdet, så olikheten är sann.
Andra bevis Följande identitet gäller för alla
Detta bevisar att vänstra membrum inte är mindre än för positiva a,b och c.
Notera: varje rationell olikhet kan lösas genom att transformera den till en lämplig identitet; se vidare Hilberts sjuttonde problem.
Tredje bevis Vi transformerar Nesbitts olikhet till en ekvivalent olikhet som är ett specialfall av en välkänd olikhet. Vi börjar med Nesbitts olikhet
och adderar till båda membrum:
Detta kan transformeras till
Multiplikation med ger att
vilket stämmer enligt Cauchy–Schwarz olikhet.
Fjärde bevis Vi börjar med Nesbitts olikhet
och sätter a+b=x, b+c=y, c+a=z vilket ger
som kan transformeras till
som är sann enligt olikheten av aritmetiska och geometriska medeltalen.
Femte bevis För att bevisa att
multiplicerar vi det första bråket med , det andra med och det tredje med vilket ger
Genom att använda Titus lemma får vi
Det räcker alltså att bevisa att
Detta kan skrivas som
vilket igen kan skrivas som
vilket stämmer.
Referenser
Kategori:Olikheter