miniatyr|Numerisk simulering av Fishers ekvation. I färgerna: lösningen u(t,x); i punkter: lutning som motsvarar den teoretiska hastigheten för resande vågen.
Inom matematiken är Fishers ekvation, även kallad för Fisher–Kolmogorovs ekvation och Fisher–KPP-ekvationen, den partiella differentialekvationen
Den är uppkallad efter Ronald Fisher och Andrej Kolmogorov.
Fisher föreslog denna ekvation för att beskriva den rumsliga spridningen av en fördelaktig allel och utforskade sina resande våglösningar.Fisher, R. A., The genetical theory of natural selection. Oxford University Press, 1930. Oxford University Press, USA, New Ed edition, 2000, , variorum edition, 1999, För varje våghastighet c ≥ 2 medges resande våglösningar på formen
där ökar och
Det vill säga, lösningen växlar från jämviktstillståndet u = 0 till jämviktstillståndet u = 1. Någon sådan lösning finns för c < 2.R. A. Fisher. "The wave of advance of advantageous genes", Ann. Eugenics 7:353–369, 1937.A. Kolmogorov, I. Petrovskii, and N. Piscounov. A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance, and its application to a biological problem. In V. M. Tikhomirov, editor, Selected Works of A. N. Kolmogorov I, pages 248–270. Kluwer 1991, . Translated by V. M. Volosov from Bull. Moscow Univ., Math. Mech. 1, 1–25, 1937Peter Grindrod. The theory and applications of reaction-diffusion equations: Patterns and waves. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, second edition, 1996 ; . Vågformen för en given våghastighet är unik.
För den speciella våghastigheten , kan alla lösningar finnas i en sluten form, medAblowitz, Mark J. and Zeppetella, Anthony, Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed, Bulletin of Mathematical Biology 41 (1979) 835–840
där är godtycklig, och ovannämnda gränsvillkoren uppfylls för .
Den är det enklaste exemplet på ett semilinjärt reaktion–spridningssystem
som kan uppvisa resande våg-lösningar som växlar mellan jämviktstillstånd som ges av . Sådana ekvationer inträffar till exempel i ekologi, fysiologi, förbränning, kristallisering, plasmafysik och i allmänhet fasövergångsproblem.
Bevis på att det finns resande våg-lösningar och analyser av deras egenskaper görs ofta av fasrumsmetoden.
Resande våg-lösningar
Referenser
Noter
Externa länkar Fishers ekvation på MathWorld Fishers ekvation på EqWorld
Kategori:Partiella differentialekvationer