Inom matematiken, speciellt inom analytisk talteori, är Dirichlets etafunktion en viktig speciell funktion som definieras som följande Dirichletserie, som konvergerar för alla komplexa tal vars reella del > 0:

Denna Dirichletserie är precis serien för Riemanns zetafunktion förutom att termerna har alternerande tecken. Därför kallas Dirichlets eta-funktion ibland för alternerande zetafunktionen och betecknas med ζ*(s). Följande enkla relation gäller:

Etafunktionen kan även definieras som integralen

Eulerprodukt För gäller

Integralrepresentationer Det finns ett flertal integralrepresentationer för etafunktionen. Följande formler gäller för

Följande formel kan bevisas med hjälp av Cauchy–Schlömilchs transformation, som gäller för :

Följande formel av Ernst Lindelöf (1905) gäller i hela komplexa planet om man tar det principiella värdet av logaritmen.

Följande formel bevisades också av Lindelöf:

En generalisering valid för och alla

Genom att låta får man formeln

En annan integral är

För alla gäller

Serierepresentationer

Funktionalekvation Etafunktionen satisfierar funktionalekvationen

Speciella värden Några specialfall av etafunktionen kan skrivas i sluten form:

och i allmänhet för positiva heltal n

Några värden för udda argument är

Derivata Etafunktionens derivata är

.

Numeriska algoritmer Peter Borwein har härlett en effektiv metod för numerisk räkning av etafunktionen. Om

är

där för gäller för feltermen γn

Generaliseringar Etafunktionen är ett specialfall av polylogaritmen

vilket gör den även ett specialfall av Lerchs transcendent:

Se även Riemanns zetafunktion

Källor

Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933) Titchmarsh, E. C. (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press.

Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.

p. 12.

Externa länkar

Kategori:Zeta- och L-funktioner