Inom matematiken är Ramanujans taufunktion, uppkallad efter Srinivasa Ramanujan, funktionen definierad som

där är så att och är Dedekinds etafunktion.

Värden De första värdena av taufunktionen ges i följande tabell :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 −24 252 −1472 4830 −6048 −16744 84480 −113643 −115920 534612 −370944 −577738 401856 1217160 987136

Ramanujans förmodanden Ramanujan (1916) observerade, men kunde inte bevisa, följande egenskaper av taufunktionen:

om (det vill säga är en multiplikativ funktion) för primtal och . för alla primtal .

De första två egenskaperna bevisades av Louis J. Mordell (1917) och den tredje, kallad för Ramanujan-Peterssons förmodan, bevisades 1974 av Pierre Deligne.

Kongruenser för taufunktionen För och , definiera som summan av :te potenserna av delarna av . Taufunktion uppfyller flera kongruensrelationer, många av dem kan uttryckas i termer av . Då gäller följande kongruenser:Page 4 of

Due to

Due to

Due to Lahivi Due to D. H. Lehmer

Due to

För primtal gäller:Due to <li> <li>Due to J.-P. Serre 1968, Section 4.5 <li>

Förmodanden om τ(n) Anta att är en heltalsnyform av vikt och att dess Fourierkoefficienter är heltal. Betrakta följande problem: om saknar komplex multiplikation, bevisa att gäller för alla . De flesta primtalen borde ha denna egenskap, och sådana primtal kallas ordinära. Även om Deligne och Serre har gjort stora framsteg inom teorin av Galoisrepresentationer, som bestämmer för och relativt prima, vet vi inte hur man skall räkna . Den enda satsen av denna sort som bevisats är Elkies berömda resultat för modulära elliptiska kurvor som garanterar att det finns oändligt många primtal så att , av vilket följer. Man känner inte till exempel av icke-KM med vikt med mod för oändligt många primtal (även om det borde gälla för nästan alla ). Man känner inte heller till exempel där mod för oändligt många .

Lehmer (1947) förmodade att för alla , vilket har senare blivit känt som Lehmers förmodan. Lehmer kontrollerade att den gäller för . Bosman (2007) har bevisat att förmodan gäller för alla .

Referenser

Noter

Källor

Kategori:Multiplikativa funktioner Kategori:Srinivasa Ramanujan Kategori:Modulära former