Dubbelt Mersennetal är inom matematiken ett Mersennetal av formen
där p är en Mersenneprimtalsexponent.
De första dubbla Mersennetalen Talföljden av dubbla Mersennetal börjar med:Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages.
Dubbla Mersenneprimtal
Ett dubbelt Mersennetal som även är primtal kallas för dubbelt Mersenneprimtal. Eftersom ett Mersennetal Mp kan vara primtal om och endast om p är ett primtal (se artikeln Mersenneprimtal för ett bevis) kan ett Mersennetal vara primtal om Mp i sig är ett Mersenneprimtal. De första värdena för p, för vilka Mp är ett primtal är p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127. Av dessa är känt för att vara primtal för p = 2, 3, 5, 7. För p = 13, 17, 19, 31 har explicita faktorer funnits som visar att motsvarande dubbla Mersennetal är inte primtal. Således, den minsta kandidaten för nästa dubbla Mersenneprimtal är eller 22305843009213693951 − 1. Cirka 1,695 är för stort för alla nu kända primtalstest. Talet har ingen primtalsfaktor lägre än 4 × 1033.Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008 . This reports a high-water mark of 204204000000×(10019+1)×(261−1), above 4×1033. Retrieved on 2008-10-22. Det finns förmodligen inga andra dubbla Mersenneprimtal än de fyra redan kända.
Catalan–Mersennetal-förmodanden Skriv istället för . Ett specialfall av dubbla Mersennetal är den rekursivt definierade följden:
2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), …
som kallas Catalan–Mersennetal. Det sägs att Catalan kom med denna följd efter upptäckten av prima av M(127)=M(M(M(M(2)))) av Lucas år 1876.Nouvelle correspondance mathématique vol. 2 (1876), p. 94-96, "Questions proposées" probably collected by the editor. Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92: "Prouver que 261 - 1 et 2127 - 1 sont des nombres premiers. (É. L.) (*)." The footnote (indicated by the star) written by the editor Eugène Catalan, is as follows: "(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 22 - 1, 23 - 1, 27 - 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si 2n - 1 est un nombre premiere p, 2p - 1 est une nombre premiere p', 2p' - 1 est une nombre premiere p", etc. Cette proposition a quelque analogie avec le théorème suviant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2n + 1 est une nombre premiere. (E. C.)" http://archive.org/stream/nouvellecorresp01mansgoog#page/n353/mode/2up [retrieved 2012-10-18] Catalan förmodade att de, upp till en viss gräns, är alla primtal.
Även om de fem första termerna (upp till ) är primtal, kan inga kända metoder avgöra om något mer av dessa tal är primtal (i någon rimlig tid) bara för att talen i fråga är alltför stora, om inte prima av M(M(127)) motbevisas.
Inom populärkulturen I Futurama-filmen The Beast with a Billion Backs ses det dubbla Mersennetalet i kort som "ett elementärt bevis på Goldbachs hypotes". I filmen kallas detta tal för ett "marsianprimtal" ().
Se även Perfekt tal Fermattal Wieferichprimtal
Referenser
Noter
Vidare läsning
Externa länkar
Tony Forbes, En sökning efter en faktor av MM61. Status för faktorisering av dubbla Mersennetal Sök efter dubbla Mersenneprimtal Operazione Doppi Mersennes (inloggning krävs)
Kategori:Heltalsmängder Kategori:Mycket stora tal