miniatyr|Riemanns xi-funktion i det komplexa planet. Färgen på en punkt kodar värdet av funktionen. Mörkare färger anger värden närmare noll och nyans anger värdets argument.
Inom matematiken är Riemanns xi-funktion, uppkallad efter Bernhard Riemann, en variant av den mer kända Riemanns zetafunktion.
Definition Riemanns xi-funktion definieras som
för och där ζ(s) är Riemanns zetafunktion. Funktionalekvationen för xi är
Speciella värden För positiva heltal n är
där Bn är det n-te Bernoullitalet. Exempelvis är
Några andra speciella värden är
Serierepresentation Xi-funktionen har serierepresentationen
där
där summan går över de icke-triviala rötterna ρ av zetafunktionen, ordnade enligt .
Denna expansion har en viktig roll i Lis kriterium som säger att Riemannhypotesen är ekvivalent med att λn > 0 för alla positiva n.
Källor
Kategori:Zeta- och L-funktioner