Inom matematiken är Clausens funktion, introducerad av Thomas Clausen 1832, en speciell funktion. Den kan definieras som en integral, trigonometrisk serie, och med hjälp av andra speciella funktioner. Den är relaterad till polylogaritmen, inversa tangensintegralen, polygammafunktionen, Riemanns zetafunktion och Dirichlets betafunktion.
Clausens funktion av ordning 2 – som ofta kallas för Clausens funktion, fast den är en av Clausens funktioner – definieras som integralen
I intervallet får sinus endast positiva värdet, så absoluta värdet kan lämnas bort. Clausens funktion har Fourierserien
Allmän definition Mer allmänt definieras följande två generaliserade Clausens funktioner:
som gäller för komplexa z med Re z >1.
Då z ersätts med ett icke-negativt heltal, definieras Clausens funktioner av standardtyp som serierna
Derivator
Integraler
Relation till inversa tangensintegralen Inversa tangensintegralen definieras i intervallet som
Den kan skrivas i sluten form med hjälp av Clausens funktion:
Relation till Barnes G-funktion För reella kan Clausens funktion av andra ordningen skrivas med hjälp av Barnes G-funktion och gammafunktionen:
Andra oändliga serier En snabbare konvergerande serie för Clausens funktion är
som gäller för , där är Riemanns zetafunktion. En annan snabbt konvergerande serie är
Speciella värden
Speciella värden av högre ordningens funktioner Några speciella värden av Clausens funktioner av högre ordning är
där är Catalans konstant, är Dirichlets betafunktion, är Dirichlets etafunktion och är Riemanns zetafunktion.
Källor
Leonard Lewin, (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms (1991) American Mathematical Society, Providence, RI.
Externa länkar
Kategori:Zeta- och L-funktioner