Inom matematiken är en modulär form en (komplex) analytisk funktion i övre halvplanet som satisfierar en viss funktionalekvation med avseende på gruppverkan av modulära gruppen, samt satisfierar ett visst krav på tillväxten. Teorin om modulära former är en del av komplex analys. Modulära former är viktiga inom talteori och förekommer även inom algebraisk topologi och strängteori.
Modulära former för SL2(Z) En modulär form av vikt k för modulära gruppen
är en komplexvärd funktion f i övre halvplanet som satisfierar följande tre villkor: för det första är f en analytisk funktion över H. För det andra gäller för alla z i H och en godtycklig matris i SL(2,Z) ekvationen
För det tredje skall f vara analytisk då . Vikten k är vanligen ett positivt heltal.
Det andra villkoret, med matriserna och , är
och . Eftersom S och T genererar modulära gruppen SL(2,Z) är det andra villkoret ovan ekvivalent med dessa två ekvationer. Notera att eftersom
är modulära funktioner periodiska funktioner med period 1 och har härmed en Fourierserie.
Notera att för udda k kan bara 0 satisfiera det andra villkoret.
Exempel Funktionen som är konstant lika med noll är en modulär form av vikt k för alla tal k.
Varje konstant funktion är en modulär form av vikt 0.
Dedekinds etafunktion definieras som
Då är den modulära diskriminanten Δ(z) = η(z)24 en modulär form av vikt 12.
Automorfa faktorer och andra generaliseringar Modulära former kan generaliseras genom att tillåta existensen av en funktion med så att
Funktioner av formen är kända som automorfa faktorer.
En annan generalisering är Hilbert-modulära former. Ytterligare en generalisering är Siegel-modulära former.
Referenser
Se även Taniyama-Shimuras sats Källor Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. Kapitel VII introducerar teorin om modulära former. Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. Goro Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. En mer avancerad text. Stephen Gelbart, Automorphic forms on adele groups. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975. Introducerar modulära former med utgångspunkt från representationsteori. Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. Stein's notes on Ribet's course Modular Forms and Hecke Operators Erich Hecke, Mathematische Werke, Goettingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970. N.P. Skoruppa, D. Zagier, Jacobi forms and a certain space of modular forms, Inventiones Mathematicae, 1988, Springer
Kategori:Speciella funktioner