Inom matematiken är en generaliserad hypergeometrisk serie en potensserie där kvoten av två konsekutiva koefficienter är en rationell funktion. Om serien konvergerar definierar den en generaliserad hypergeometrisk funktion. Många speciella funktioner kan skrivas som specialfall av generaliserade hypergeometriska funktionen.
Definition Definiera Pochhammersymbolen:
Då definieras generaliserade hypergeometriska funktionen som
Specialfall Dilogaritmen:
Hahnpolynom:
Wilsonpolynom:
Laguerrepolynom
Besselfunktionen:
Serien 1F0 Denna serie kan skrivas i sluten form som
Differentialekvationen för denna funktion är
eller
vars alla lösningar ges av
där k är en konstant.
Serien 0F1 Funktioner av formen är relaterade till Besselfunktioner enligt formeln
Differentialekvationen för denna funktion är
eller
Serien 2F0 Denna serie förekommer i samband med exponentiella integralen Ei(z).
Serien 3F1 Denna serie förekommer i teorin för Besselfunktioner. Den kan användas till att beräkna värden på Besselfunktioner med stora argument.
Egenskaper Eulers integraltransformation Följande identitet är väldigt användbar:
Differentiering Generaliserade hypergeometriska funktionen satisfierar
Genom att kombinera dessa får man följande differentialekvation satisfierad av w = pFq:
Identiteter Saalschützs sats
Dixons identitet Dixons identitet ger summan av en viss 3F2-serie vid z=1:
Dougalls formel Dougalls formel är formeln
där m inte är ett icke-negativt heltal och
Många andra formler för speciella värden av hypergeometriska funktioner kan fås som specialfall av Dougalls formel.
Generaliseringar av Kummers transformationer och identiteter för 2F2 Identitet 1.
där
Identitet 2.
som relaterar Besselfunktioner till 2F2; det här reducerar sig till Kummers andra formel för b = 2a:
Identitet 3. .
Identitet 4.
som är en ändlig summa om b-d är ett icke-negativt heltal.
Kummers relation Kummers relation är
Clausens formel Clausens formel
användes av de Branges till att bevisa Bieberbachförmodan.
Generaliseringar Bilaterala hypergeometriska serier är en generalisering av hypergeometriska serier där summan är över alla heltal, inte bara de positiva.
Fox–Wrights funktion är en generalisering av generaliserade hypergeometriska funktionen där Pochhammersymbolerna i serien ersätts med gammafunktioner av linjära polynom av n.
Källor
(the first edition has ) (a reprint of this paper can be found in Carl Friedrich Gauss, Werke, p. 125) (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
(there is a 2008 paperback with )
Kategori:Hypergeometriska funktioner