Inom matematiken är Kleins j-invariant, sedd som en funktion av komplexa variabeln τ, en modulär funktion av vikt noll för definierad i övre halvplanet av komplexa planet. Den är den unika funktionen med dessa egenskaper som är analytisk förutom vid en spets där den har en enkel pol så att
Rationella funktioner av j är modulära, och det kan visas att alla modulära funktioner är av denna form. j-invarianten studerades klassiskt som en parametrisering av elliptiska kurvor över , men den har även överraskande samband med monstergruppens symmetrier.
Fourierexpansion j-invariantens Fourierexpansion i variabeln börjar
Alla koefficienterna är heltal, vilket resulterar i flera nästan-heltal, såsom Ramanujans konstant:
.
Alternativa uttryck Följande formel gäller
där och är modulära lambdafunktionen. Värdet av förblir oförändrat då λ ersätts med något av de sex värdena
Klasskroppsteori och -invarianten har många remarkabla egenskaper:
Om är en singulär modulus, d.v.s. ett godtyckligt element av en imaginär kvadratisk kropp med positiv imaginär del (så att är definierad), då är ett algebraiskt heltal.
Kroppsutvidgningen är abelsk, d.v.s. har abelsk Galoisgrupp.
Formler för pi Genom att använda formeln bevisade bröderna Chudnovsky 1987 formeln
Källor
. Provides a very readable introduction and various interesting identities.
. Provides a variety of interesting algebraic identities, including the inverse as a hypergeometric series. Introduces the j-invariant and discusses the related class field theory. . Includes a list of the 175 genus-zero modular functions. . . . Provides a short review in the context of modular forms. . Fotnoter
Kategori:Modulära former Kategori:Elliptiska funktioner