400px|miniatyr|stående=1.2|Jacobis ursprungliga thetafunktion med och . Konventionerna är (Mathematica): detta är: Inom matematiken är Jacobis thetafunktioner speciella funktioner av flera komplexa variabler. De är viktiga inom flera delar av matematiken, såsom teorierna av abelska varieteter, modulrum och kvadratiska former. De har även använts inom solitonteori. Då de generaliseras till en yttre algebra förekommer de även i kvantfältteori.
Jacobis thetafunktion Det finns flera nära relaterade funktioner som kallas för Jacobis thetafunktioner och flera olika beteckningssystem för dem. En Jacobis thetafunktion (uppkallad efter Carl Gustav Jacob Jacobi) är en funktion definierad för två komplexa variabler z och τ, där z är godtyckligt och τ är i övre halvplanet, vilket betyder att den har positiv imaginär del. Funktionen ges av formeln
där q = exp(πiτ) och η = exp(2πiz). Den är en Jacobiform. Om τ är fixerat blir detta en Fourierserie för en periodisk analytisk funktion av z med period 1; i detta fall satisfierar thetafunktionen identiteten
Funktionen är även väldigt regelbunden i förhållande till dess kvasiperiod τ och satisfierar funktionalekvationen
där a och b är heltal.
500px|miniatyr|center|Thetafunktionen där varierar. Den svarta punkten i figuren till höger visar hur varierar. 500px|miniatyr|center|Thetafunktionen där varierar. Den svarta punkten i figuren till höger visar hur varierar.
Relaterade funktioner Thetafunktionen ovan betraktas ibland tillsammans med tre nära relaterade funktioner, i vilket fall den skrivs som
De andra funktionerna definieras som
Denna beteckning är efter Riemann och Mumford. I Jacobis beteckning är thetafunktionerna:
Om vi låter z = 0 i funktionerna ovan, får vi fyra funktioner som beror enbart på τ, definierade i övre halvplanet (ibland kallade för thetakonstanterna). Dessa kan användas till att definiera ett flertal modulära former.
Speciella värden Se
Vidare, följande funktionalekvation , kan användas för att enkelt härleda fler värden.
Serieidentiteter Följande två serieidentiteter bevisades av István Mező:
Dessa relationer gäller för alla 0 < q < 1. Speciella värden på q ger följande formler:
och
Relation till Riemanns zetafunktion Relationen
användes av Riemann till att bevisa funktionalekvationen för Riemanns zetafunktion genom att använda integralen
som kan visas vara invariant under ersättning av s med 1 − s.
Relation till Weierstrass elliptiska funktion Thetafuntkionerna användes av Jacobi till att konstruera sina elliptiska funktioner som kvot av de fyra thetafunktionerna ovan, och kunde även ha använts av honom till att konstruera Weierstrass elliptiska funktion, eftersom
där andra derivatan är i förhållande till z och konstanten c definieras så att Laurentexpansionen av vid z = 0 har 0 som konstanta termen.
Relation till q-gammafunktionen Den fjärde thetafunktionen – och härmed även de tre andra – är nära relaterad till q-gammafunktionen enligt relationen
Referenser
Fotnoter
Kategori:Elliptiska funktioner Kategori:Severala komplexa variabler Kategori:Modulära former Kategori:Q-analogier Kategori:Riemannytor Kategori:Thetafunktioner