Ett komplext vektorrum har många likheter med det "vanliga" reella vektorrummet. Den största skillnaden är att skalärerna är komplexa tal. Vanliga beteckningar för reella vektorrum är medan komplexa vektorrum ofta betecknas med . Fortfarande bygger det komplexa vektorrummet på linjära strukturer med addition och multiplikation likt det reella fast med några få skillnader.
samt att .
Som vi ser tillåts konstanten vara ett komplext tal.
__INNEHÅLLSFÖRTECKNING__
Definition
Med hjälp av addition och multiplikation definieras ett komplext vektorrum av följande:W W L CHEN 2008: "Linear Algebra, Chapter 12.1, Complex Vector Space - complex inner products" , Macquarie University, Sydney, läst maj, 2014.
gäller att gäller att sådant att gäller att sådant att gäller att och gäller att och gäller att och gäller att och gäller att gäller att
Komplexa underrum definieras på samma sätt som reella underum.
Skalärprodukt
Definitionen av skalärprodukt i ett komplext vektorrum är likt den för reella vektorrum."Complex Vector Spaces, chapter 8.4, Complexa vector space and inner product": Cengage Learning, läst maj, 2014. Om
så är
där
är komplexkonjugatet till
Notera att om och skulle tillhöra är definitionen av skalärprodukt den samma som för reella vektorrum, ty komplexkonjugatet förändras inte om imaginärdelen av det komplexa talet är noll.
Egenskaper för skalärprodukt Låt och vara vektorer i och vara ett komplext tal. Då gäller följande egenskaper för skalärprodukt:
Definitionen och egenskaperna ovan är den vanligaste definition för skalärprodukt i ett komplext vektorrum. Men den kan bli mer generell genom några få symboländringar och kallas då komplex inre produkt. Ett komplext vektorrum med en komplex inre produkt kallas komplext inre produktrum eller unitärt rum.
Vektorlängd
Definitionen av längden (eller normen) av en vektor i ett komplext rum är samma som för ett reellt rum.
Notera att kan med hjälp av konjugatregeln skrivas som
Därmed har vi visat egenskap nummer 5 ovan.
Matriser
Avbildningar i komplexa vektorrum kan likt avbildningar i reella vektorrum beskrivas av matriser, till exempel som
I reella vektorrum är ortogonala och symmetriska matriser väsentliga. I komplexa vektorrum finns motsvarande matriser. Dessa kallas unitära respektive hermiteska matriser."Complex Vector Spaces, chapter 8.5, Unitary and hermitian matrices": Cengage Learning, läst maj, 2014.
Unitär matris En komplex matris kallas unitär om där det vill säga, A är lika med sitt komplexkonjugerade transponat.
Om är komplexa matriser och är ett komplext tal gäller
Vidare gäller att en n n matris A är unitär A:s radvektorer (eller kolonnvektorer) är en ortogonal bas i .
Hermitesk matris En komplex kvadratisk matris kallas hermitesk om
Sats 1
Om är en hermitek matris, så är dess egenvärden reella.
Bevis
Om är ett egenvärde till med tillhörande egenvektor .
Om ekvationen multipliceras med så fås
Vidare framgår att
Av likheten
och att är en hermitesk matris följer att måste vara reell.
VSB.
Det finns en liknande sats för reella vektorrum, men i det fallet måste matrisen vara symmetrisk istället för hermitesk.
Sats 2
Om är en hermitesk matris så är egenvektorerna för motsvarande egenvärden ortogonala. är unitärt diagonaliserbar.
Bevis (1)
Låt och vara egenvektorer till motsvarande egenvärden, och .
Eftersom och får vi följande ekvationer från matrisprodukten
Av detta fås att
Eftersom .
VSB.
Notera att egenvektorerna hos en symmetrisk matris också är ortogonala mot varandra.
Bevis (2)
Se spektralsatsen.
Referenser
Kategori:Vektorer Kategori:Linjär algebra