miniatyr|Tetraederns fyra medianer skär varandra i samma punkt. miniatyr|Figur 2. Denna figur avbildar en regelbunden tetraeder där höjderna och medianerna sammanfaller. Commandinos sats är en sats inom euklidisk geometri som säger att medianderna i en tetraeder skär varandra i en punkt som delar medianerna i förhållandet 3:1 med den längre delen mot tetraederhörnet.

Den är uppkallad efter den italienske matematikern Federico Commandino (1509-1575) som publicerade förhållandet i sitt verk Liber de centro gravitatis solidorum 1565.Howard Whitley Eves, 1983, Great Moments in Mathematics (before 1650), sid. 225. .Federico Commandino, 1565, Liber de centro gravitatis solidorum, sid. 22.

Punkten sammanfaller med en solid tetraeders tyngdpunkt.

Bevis Betrakta en tetraeder med de fyra hörnen , , och . Låt vara mittpunkten på tetraederkanten och konstruera triangeln i figur 2. är då medianen i tetraedersidan från och likaledes är medianen i tetraedersidan från . Dessa tetraedersidors tyngdpunkter ligger i respektive . Linjerna och är tetraederns medianer från hörnen respektive . De skär varandra i punkten . delar i förhållandet 2:1 och delar på samma sätt. Vi kan sålunda konstatera ur vår figur att:

  (1)   (2)   (3) och   (4)

Ur figuren och sedan med hjälp av (2) finner vi:

  (5)

Vidare, ur figuren och sedan med hjälp av (1):

  (6)

Med hjälp av (4) kan vi nu slå samman (5) och (6) till:

  (7)

På samma sätt som för (5) får vi ur figuren och sedan med hjälp av (2) att:   (8)

Vidare, analogt med (6), ur figuren och sedan med hjälp av (1):

  (9)

Och analogt med (7) finner vi med hjälp av (3) att:

  (10)

(7) och (10) ger oss nu:

  (11)

Och, ur figuren, sedan med (2) och till slut med (11):

Men och har samma höjd i så basen måste sålunda vara tre gånger så lång som och delar alltså i förhållandet 3:1. Och på samma sätt kan vi visa att även delar i förhållandet 3:1. Genom att sedan exempelvis byta ut mot och sedan mot (och såklart byts då även och ut) visar man att alla medianerna skär varandra i samma punkt och att alla medianerna delas i förhållandet 3:1 av denna punkt.

Quod erat demonstrandum!

Referenser

Kategori:Satser inom geometri Kategori:Euklidisk geometri