I matematiken är ett pseudometriskt rum en mängd med en tilldelad avståndsfunktion, en pseudometrik, i likhet med ett metriskt rum, men i ett pseudometriskt rum kan avståndsfunktionen bli noll även om elementen inte är lika.
Ibland, framförallt inom funktionalanalys, används termen semimetrisk rum om pseudometriska rum; dock har semimetriskt rum en annan betydelse inom topologi.
Definition Ett pseudometriskt rum är ett par där är en mängd och är en pseudometrik. Villkoren för en pseudometrik är, för :
(symmetri) (triangelolikhet) Skillnaden mellan en metrik och en pseudometrik är alltså att för en pseudometrik implicerar inte att , vilket är fallet för en vanlig metrik.
Exempel Pseudometriska rum dyker upp i funktionalanalys. Om man till exempel betraktar ett rum och utifrån detta skapar ett nytt rum som består av alla funktioner . Om vi väljer ett speciellt element , kan vi få en pseudometrik på genom:
.
där .
I ett vektorrum kan man inducera en pseudometrik från en pseudonorm, genom:
Metriska rum från pseudometriska rum Man kan, utgående från ett pseudometriskt rum, bilda ett metriskt rum.
Låt (X,d) vara ett pseudometriskt rum. Definiera en ekvivalensrelation, , på X genom: om och låt vara mängden av ekvivalensklasser som uppstår. Definiera sedan metriken:
då är ett metriskt rum.
Exempel
Det viktiga exempel för den här ekvivalensrelation är -rummet när -normen
för formar en pseudometrik
för . Vi definiera -rummet (med samma symbol) så att det har metriken för ekvivalensklasser.
Se även
Metriskt rum
Kategori:Egenskaper hos topologiska rum Kategori:Metrisk geometri