Finita differensmetoden (FDM) är en numerisk metod för att finna lösningar till differentialekvationer genom att ersätta derivatorna med finita differenser.
Härledning Säg att man vill beräkna funktionen f i punkten x. Om f:s derivator uppfyller vissa villkor kan man Taylorutveckla f(x + Δx): . Om man löser ut f'''(x) får man: . På liknande sätt, genom att Taylorutveckla f(x - Δx), kan man få approximationen
och genom att sätta ihop de två formlerna får man . Man kan även härleda approximationer för högre derivator, exempelvis andraderivatan:
Exempel Som exempel, betrakta Poissonekvationen på en kvadratisk domän
Om Laplaceoperatorn utvecklas fås
En approximativ lösning fås genom att approximera de partiella andraderivatorna med
där j och k löper över en finit uppdelning av domänen .
Antag att stegen i x- och y''-led är lika, d.v.s . Då kan den approximativa versionen av ekvationen ovan skrivas om till
Denna formel är sedan grunden för iterativa lösningsmetoder, exempelvis Jacobi-metoden.
Se även Finita volymmetoden Finita elementmetoden
Referenser
Kategori:Numerisk analys