Frenet-Serrets formler, namngivna efter de två franska matematikerna Jean Frédéric Frenet och Joseph Alfred Serret, vilka båda upptäckte formlerna oberoende av varandra, är i vektoranalys formler som beskriver de kinematiska egenskaperna hos en partikel vilken färdas längs en kontinuerlig, differentierbar kurva i ett tre-dimensionellt euklidiskt rum R3. Naturliga koordinater
Naturliga koordinater eller naturliga basen (ej att förväxla med talet e) är ett koordinatsystem som följer med en kurva i rummet, till skillnad från t.ex. ett kartesiskt koordinatsystem som är fixt i rummet. Det är i allmänhet svårt att räkna i naturliga koordinater, men dess teori ger värdefulla insikter om naturen hos en partikel som rör sig längs en kurva.
Basvektorerna är , där är en enhetsvektor i tangentens riktning, är en enhetsvektor i normalriktningen (riktad mot krökningscentrum och vinkelrät mot ) och en enhetsvektor i binormalriktningen så att bildar ett högersystem av ortonormala vektorer. Om kurvan parametriseras med , sträckan längs kurvan från en given startpunkt, kan definieras enligt
där är en lägesvektor från en punkt fix i rummet.
Frenet-Serrets formler Betrakta nu specialfallet att kurvan är en cirkel med radie . Allteftersom partikeln rör sig ( ökar) kommer att vridas in mot cirkelns mitt (som är ett permanent krökningscentrum). Ju mindre radie, desto större ändring. Då gäller att . I allmänhet ändras krökningscentrum hela tiden, vilken då kan betecknas . Krökningen definieras då som , så i allmänhet gäller
vilken är Frenet-Serrets första formel.
De andra två formlerna är
och
där är torsionen, som kan ses som ett mått på hur mycket kurvan avviker från att hela tiden ligga i samma plan.
Referenser
Kategori:Geometri Kategori:Mekanik Kategori:Vektoranalys