Inom matematiken är Ext-funktorn härledda funktorerna av Hom-funktorn. De användes först inom algebraisk topologi men används numera inom flera andra delområden av matematiken. Namnet "Ext" kommer från dess konnektionen med utvidgningar (på engelska extension) i abelska kategorier.
Definition Låt R vara en ring och låt ModR vara kategorin av moduler över R. Låt B vara i ModR och låt T(B) = HomR(A,B) för något fixerat A i ModR. Det här är en vänster-exakt funktor och har alltså höger-härledda funktorer RnT. Ext-funktorn definieras som
Den kan räknas genom att välja en godtycklig injektiv resolution
och sedan räkna
Då är (RnT)(B) homologin av detta komplex. Notera att HomR(A,B) utelämnas från komplexet.
Egenskaper Ext(A, B) = 0 för i > 0 om antingen B är injektiv eller A projektiv.
Om Ext(A, B) = 0 för alla A är Ext(A, B) = 0 för alla A och B är injektiv; om Ext(A, B) = 0 för alla B är Ext(A, B) = 0 för alla B och A är projektiv.
Exempel Om Z[G] är heltalsgruppringen av en grupp G, då är Ext(Z, M) gruppkohomologin H*(G,M) med koefficienter i M.
Om Fp är ändliga kroppen med p element, då är H*(G,M) = Ext(Fp, M), och gruppkohomologin beror inte på vilken basring man valt.
Om A är en k-algebra, då är Ext(A, M) Hochschildkohomologin HH*(A,M) med koefficienter i A-bimodulen M.
Om R är den universala enveloppernade algebran för en Liealgebra over a commutative ring k, then Ext(k, M) är Liealgebrakohomologin med koefficienter i modulen M.
Se även Tor-funktorn
Källor
Kategori:Homologisk algebra Kategori:Binära operationer