Fjärilssatsen är ett resultat från den Euklidiska geometrin.
miniatyr|245px Sats Låt M vara mittpunkten av en linje PQ i en cirkel genom vilken två andra linjer AB och CD dras. AD och BC skär linjen PQ på X och Y på motsvarande sätt. Då är M mittpunkten av XY.
Bevis Bevis 1 (Coxeter och Greitzer) frame|
Rita ut linjerna och vinkelräta från respektive till . På samma sätt rita ut och vinkelrätt från och till .
Nu, eftersom
Från de föregående ekvationerna kan man se att
eftersom =
Nu,
Det bevisar alltså att är mittpunkten av
Bevis 2 (Shklyarsky) miniatyr|300px
Låt och . Som i Bevis 1,
Kolla på triangeln . Enligt sinussatsen får vi
Och triangeln
vilket leder till
Nu kan vi bryta ut :
Eftersom det uttrycket är symmetriskt i och kommer vi få exakt samma resultat ifall vi skulle upprepa härledningen för segmentet . Därför är
Källor The Butterfly Theorem Proof of Butterfly Theorem The Butterfly Theorem av Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.
Aspects of the Butterfly Theorem
Kategori:Euklidisk geometri Kategori:Satser