miniatyr|Sannoliketsfunktionen för den negativa binomialfördelningen för r=10, p=0,2 (blå), p=0,5 (grön) och p=0,8 (rött). Den negativa binomialfördelningen är en diskret sannolikhetsfördelning av antalet framgångar eller antalet försök i en sekvens av oberoende och identiskt fördelade Bernoulliförsök innan ett specificerat (icke-slumpmässigt) antal misslyckanden (betecknat r ) inträffar.
Exempel Vi kan till exempel definiera att när vi kastar en tärning och får en sexa är det en framgång, annars ett misslyckande. Sedan väljer vi r lika med 3. Vi kastar sedan tärningen upprepade gånger tills siffran 6 visas för tredje gången. I ett sådant fall är sannolikhetsfördelningen av antalet misslyckanden (annat än sexa) som uppträdde en negativ binomialfördelning.
Sannolikhetsfunktion Den negativa binomialfördelningen har följande sannolikhetsfunktion:
där k är antalet misslyckade försök. Parametrarna är r, antal lyckade försök, och p, sannolikheten för ett lyckat försök. Binomialkoefficienten kan skrivas om som:
Ett annat sätt är att utnyttja den så kallade negativa binomialkoefficienten:
Naturligtvis kan vi räkna antalet försök oberoende om de är lyckade eller inte:
Alternativ parametrisering Den negativa binomialfördelningen kan skrivas med följande sannolikhetsfunktion i stället:
där k är antalet misslyckade försök. Parametrarna är r, antal lyckade försök, och μ, väntevärdet. Då blir
Väntevärde och varians Väntevärdet för antal misslyckanden är . Om vi räknar alla försök blir väntevärdet .
Variansen är: .
Generalisering Parametern r kan också vara vilket positivt reellt tal som helst. Då får fakulteterna ersättas med gammafunktionen. Ibland pratar man om Pascalfördelningen (efter Blaise Pascal) då r är ett heltal och om Polyafördelningen (för George Pólya) för reella r.
Se även Geometriska fördelningen, om r är 1
Källor
Externa länkar
Kategori:Statistik Kategori:Sannolikhetsfördelningar