Potensmängden (en. power set) till en mängd är mängden av alla delmängder till Potensmängd i Nationalencyklopedin. inklusive den tomma mängden och mängden själv. Potensmängden till skrivs ofta , eller . Om är en ändlig mängd med element är antalet delmängder som kan bildas av lika med || = 2n.Weisstein, Eric W., Power Set på Wolfram MathWorld.Att |P(M)|=2n följer enkelt ur att om vi har en mängd N med ett element mindre än M, d.v.s. |N|=n-1, så är |P(M)|=2|P(N)|, eftersom "det n:te" elemetet antingen kan läggas till eller ej i varje mängd som ingår i P(N), och |P(Ø)|=1.
Att P(M) är en mängd närhelst M är en mängd, är innebörden i potensmängdsaxiomet.
Exempel Om S är mängden {x, y, z}, är delmängderna av S
{} (också betecknad , tomma mängden) {x} {y} {z} {x, y} {x, z} {y, z} {x, y, z} och potensmängden av är
I exemplet startade vi med en mängd med tre element och såg att potensmängden innehöll fler element, nämligen 23=8. Detta är inget unikt för denna mängd. Alla mängder, ändliga såväl som oändliga, har fler delmängder än de har element. Om vi bildar potensmängden till en mängd får vi alltså en med fler (2n) element, vilket är ett grundläggande argument för Cantors sats.
Se även Kardinaltal Mängdteori Kombinatorik
Referenser
Kategori:Mängdteori Kategori:Kombinatorik